8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

Есеп №1. 100 оқушы бір қатарға тұрып, солдан оңға қарай 1-ден 100-ге дейін есептелді. Мұғалім 1-нөмірлі оқушыға белгілі бір мөлшерде кәмпит беріп, оларды бір-бірімен бөлісуді тапсырды. Бірінші оқушы кәмпиттің $\frac{1}{100}$ бөлігін өзіне алып, қалғанын екінші оқушыға берді. Екінші оқушы алғанының $\frac{1}{99}$ бөлігін өзіне алып, қалғанын үшіншіге берді, және сол сияқты жалғаса бере, 99-шы оқушы алғанының $\frac{1}{2}$ бөлігін алып, қалғанын 100-ші оқушыға берді. 1 және 100-нөмірлі оқушылар барлығы жалпы 8 кәмпит алғаны белгілі. 2 және 99-нөмірлі оқушылар бірігіп неше кәмпит алды?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $4 \times 4$ өлшемді кестенің ұяшықтарына әр $2 \times 2$ шаршыдағы сандардың
а) қосындысы;
б) көбейтіндісі
бірдей болатындай, 1-ден 16-ға дейінгі барлық бүтін сандарды бір реттен жазып шығуға бола ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Шеңбер бойына 1, 2, $\ldots$, 100 сандары берілген ретпен жазылған (100 санының жанында 1 және 99 сандары тұр). Айжан мен Арман келесі ойын ойнайды: олар кезекпен жүреді, және ойынды Айжан бастайды. Айжан өз жүрісінде кез келген екі көрші санды таңдап, олардың әрқайсысына 1-ді қосады. Арман өз жүрісінде кез келген екі көрші санды таңдап, оларды орындарымен ауыстырады. Егер қандай да бір сәтте барлық сандар тең болып қалса, онда Айжан жеңеді. Арман Айжанның жеңуіне кедергі жасай ала ма?
комментарий/решение

Есеп №4. $n!$ және $(n - 1)! + (n + 1)!$ сандарының соңындағы нөлдер саны бірдей болатындай, барлық натурал $n > 10$ сандарын табыңыз. (Әдеттегідей, $n!$ деп 1-ден $n$-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі белгіленген, яғни $n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$.)
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Асан мен Арман келесі ойын ойнайды. Асан 11-ге бөлінбейтін екі таңбалы $A$ санын ойлайды да, оны Арманға айтады. Кейін Арман екі таңбалы $B$ санын ойлап, оны Асанға хабарлайды. Содан кейін Асан тақтаға $$A+B,\quad A+2B,\quad A+3B,\quad \ldots,\quad A+120B$$ сандарын жазады. Егер тақтада екі бірдей цифрмен аяқталатын сан кездессе, онда Асан жеңімпаз атанады. Арман Асанның жеңісіне жол бермеудің жолын таба ала ма?
комментарий/решение