қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO) 2012. Великобритания
Есеп №1. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. $D,$ $E$ және $F$ нүктелері тиісінше $BC,$ $CA$ және $AB$ қабырғаларының ішінде келесідей орналасқан: $DE \perp CO$, $DF \perp BO$ ($D$ нүктесі $B$ мен $C$ нүктелерінің арасында $BC$ түзуінде жатыр, және т.с.с.) $K$ нүктесі — $AFE$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінің центрі. $DK \perp BC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $n$ — натурал сан. $n$-ге тәуелді келесі қасиетке ие болатын ең үлкен бүтін $m$ санын табыңыз: өлшемі $m$ қатар және $n$ баған болатын кестені нақты сандармен толтыруға болады, әрі кез келген екі түрлі $\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right]$ және $\left[b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right]$ қатарлары үшін мына шарт орындалады: $$ \max \left(\left|a_{1}-b_{1}\right|,\left|a_{2}-b_{2}\right|, \ldots,\left|a_{n}-b_{n}\right|\right)=1.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Барлық $x, y \in \mathbb{R}$ үшін келесі теңдік орындалатындай барлық $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз: $$ f(y f(x+y)+f(x))=4 x+2 y f(x+y).$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Бүтін сандардың $A$ жиыны қосынды-толық деп аталады, егер $A \subseteq A+A$ болса, яғни әрбір $a \in A$ элементі $A$ жиынындағы (міндетті түрде әртүрлі емес) $b$ және $c$ элементтерінің қосындысы түрінде жазыла алса. $A$ жиыны нөл-қосындысыз деп аталады, егер 0 — $A$ жиынының кейбір ақырлы бос емес жиынының элементтерінің қосындысы ретінде жазылмайтын жалғыз бүтін сан болса. Қосынды-толық және нөл-қосындысыз болатын бүтін сандар жиыны бар ма?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $p$ және $q$ — жай сандары үшін $$ \frac{p}{p+1}+\frac{q+1}{q}=\frac{2 n}{n+2}$$ теңдігі орындалады, мұнда $n$ — натурал сан. $q-p$ санының қабылдай алатын барлық мүмкін мәндерін табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Mugbook әлеуметтік желісінде шексіз көп адам тіркелген. Кейбір (әртүрлі) жұптар бір-бірімен дос болып тіркелген, бірақ әрбір қолданушының дос саны шектеулі. Әр адамда кем дегенде бір дос бар. (Достық — симметриялы: егер $A$ — $B$-нің досы болса, онда $B$ де — $A$-ның досы.)
Әр адам өз достарының біреуін ең жақын досы ретінде таңдайды. Егер $A$ — $B$-ны ең жақын досы десе, бұл $B$ де $A$-ны ең жақын досы деп атайды дегенді білдірмейді. Біреуді ең жақын дос деп атаған адам 1-ең жақын дос деп аталады. Жалпы, $n>1$ натурал саны үшін бір адам $n$-ең жақын дос деп аталады, егер ол $(n-1)$-ең жақын дос болып табылатын адам тарапынан ең жақын дос ретінде таңдалса. Кез келген $k$ натурал саны үшін $k$-ең жақын дос болатын адам танымал деп аталады.
(a) Әрбір танымал адам басқа бір танымал адамның ең жақын досы екенін дәлелдеңіз.
(b) Егер қолданушылардың дос саны шексіз болуы мүмкін болса, кейбір танымал адам басқа танымал адамның ең жақын досы болмауы мүмкін екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Әр адам өз достарының біреуін ең жақын досы ретінде таңдайды. Егер $A$ — $B$-ны ең жақын досы десе, бұл $B$ де $A$-ны ең жақын досы деп атайды дегенді білдірмейді. Біреуді ең жақын дос деп атаған адам 1-ең жақын дос деп аталады. Жалпы, $n>1$ натурал саны үшін бір адам $n$-ең жақын дос деп аталады, егер ол $(n-1)$-ең жақын дос болып табылатын адам тарапынан ең жақын дос ретінде таңдалса. Кез келген $k$ натурал саны үшін $k$-ең жақын дос болатын адам танымал деп аталады.
(a) Әрбір танымал адам басқа бір танымал адамның ең жақын досы екенін дәлелдеңіз.
(b) Егер қолданушылардың дос саны шексіз болуы мүмкін болса, кейбір танымал адам басқа танымал адамның ең жақын досы болмауы мүмкін екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №7. $H$ нүктесі сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі, $\Gamma$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $\Gamma$-ның $A$-ны қамтымайтын $BC$ доғасында $K$ нүктесі алынған. $L$ — $K$ нүктесіне $AB$-ға қатысты, $M$ — $K$ нүктесіне $BC$-ға қатысты симметриялы нүкте. $E$ — $\Gamma$ және $BLM$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің екінші қиылысу нүктесі. $KH,$ $EM$ және $BC$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз (Үшбұрыштың ортоцентрі деп оның биіктіктерінің қиылысу нүктесін айтамыз.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Сөз дегеніміз — алфавиттің әріптерінен құралған ақырлы тізбек. Сөз қайталанатын деп аталады, егер ол кемінде екі бірдей ішкі сөздің қосындысы болса (мысалы, $ab ab ab$ және $ab ca bc$ — қайталанатын, ал $ab ab a$ және $aa bb$ — қайталанбайтын болып есептелінеді). Егер сөздегі кез келген екі көршілес әріптің орын ауыстыруы сөзді қайталанатын етсе, онда бұл сөздегі барлық әріптер бірдей екенін дәлелдеңіз. (Екі бірдей әріптің орын ауыстыруы сөзді өзгертпейді.)
комментарий/решение
комментарий/решение