1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Халықаралық олимпиадалар
  4. Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO)
  5. EGMO 2013

Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2013 год. Люксембург


Есеп №1. Үшбұрыштың $BC$ қабырғасының созындысында $C$ нүктесінен кейін $CD=BC$ болатындай $D$ нүктесі, ал $CA$ қабырғасының созындысында $A$ нүктесінен кейін $AE=2CA$ болатындай $E$ нүктесі алынған. Егер $AD=BE$ болса, онда $ABC$ үшбұрышы тікбұрышты екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $m \times m$ шаршыны қабырғалары қандай да бір ретте $1,2,3, \ldots, 10$ болатын бес тік төртбұрышқа бөлуге болатындай барлық $m$ натурал сандарын табыңыз.
комментарий/решение
Есеп №3. $n$ — натурал сан болсын.
   (a) $S$ жиынында $6n$ өзара әртүрлі натурал сандардан тұратын және жиындағы кез келген екі санның ең кіші ортақ еселігі $32n^2$-ден аспайтындай $S$ жиынның табылатынын дәлелдеңіз.
   (b) $6n$ өзара әртүрлі натурал сандардан тұратын кез келген $T$ жиыны үшін ондағы кейбір екі санның ең кіші ортақ еселігі $9n^2$-тан үлкен болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №4. $P(n)=\frac{n^{5}+a}{b}$ көпмүшесі берілген. Қатар келген үш бүтін сан табылып, және сол сандардың мәнінде көпмүшенің мәні бүтін мәндер қабылдайтындай барлық натурал $a$ және $b$ сандарының барлық жұптарын табыңыз.
комментарий/решение
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышына $\Omega$ шеңбері сырттай сызылған. $\omega$ шеңбері $AC$ және $BC$ қабырғаларын, сондай-ақ $\Omega$ шеңберін $P$ нүктесінде іштей жанайды. $AB$-ға параллель түзу $ABC$ үшбұрышының қабырғаларын қиып өтіп, $\omega$ шеңберіне $Q$ нүктесінде жанасады. $\angle ACP = \angle QCB$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Ақшақар мен жеті гном ормандағы кішкентай үйінде тұрады. Әр 16 күн қатарынан гномдардың бір бөлігі алмаз кенішінде жұмыс істеді, ал қалғандары саңырауқұлақтарды жинады. Әр күні әр гном күні бойы жұмыстың бір түрін ғана орындады. Қай екі күнді таңдасаңыз да, осы екі күнде екі жұмыс түрін де орындаған кем дегенде үш гном болатыны белгілі. Сондай-ақ, бірінші күні шахтада барлық жеті гном жұмыс істеді. Осы 16 күннің бірінде барлық гномдар саңырауқұлақ теруге кеткенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение