қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2016 год. Румыния
Есеп №1. $n$ — тақ оң сан болсын, ал $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ — теріс емес нақты сандар болса, $$ \min _{i=1, \ldots, n}\left(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}\right) \leq \max _{j=1, \ldots, n}\left(2 x_{j} x_{j+1}\right) $$ теңсіздігін дәлелдеңіз, мұнда $x_{n+1}=x_{1}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $AC$ және $BD$ диагональдары $X$ нүктесінде қиылысады. $C_{1}, D_{1}$ және $M$ — $CX,$ $DX$ және $CD$ кесінділерінің орталары. $AD_{1}$ және $BC_{1}$ түзулері $Y$ нүктесінде қиылысады, ал $MY$ түзуі диагональдарды тиісінше $E$ және $F$ нүктелерінде қиып өтеді. $XY$ түзуі $EFX$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $m$ — натурал сан болсын. $4m \times 4m$ өлшемді тор көзді кесте берілген. Екі түрлі ұяшық туыстас деп аталады, егер олар бір қатарда немесе бір бағанда орналасқан болса. Ешбір ұяшық өзі үшін туыстас емес. Кейбір ұяшықтар көк түске боялған, және әр ұяшықтың кемінде екі туыстас көк түсті ұяшығы бар. Көк ұяшықтардың мүмкін болатын ең аз санын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $\omega_{1}$ және $\omega_{2}$ шеңберлерінің радиустары тең, олар $X_{1}$ және $X_{2}$ нүктелерінде қиылысады. $\omega$ шеңбері $\omega_{1}$ шеңберін сырттай $T_{1}$ нүктесінде, ал $\omega_{2}$ шеңберін іштей $T_{2}$ нүктесінде жанасады. $X_{1} T_{1}$ және $X_{2} T_{2}$ түзулерінің $\omega$ шеңберіндe қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $k \geq 2$ және $k \leq n \leq 2k-1$ болатындай бүтін $k$ мен $n$ сандары берілсін. $n \times n$ торлы тақтаға өлшемі $1 \times k$ және $k \times 1$ болатын плиткаларды бір-бірін жаппай орналастырады, әр плитка дәл $k$ ұяшықты жабады. Осындай жабу процессі ешқандай плитканы қою мүмкін болмай қалғанда аяқталады. Қойылған плиткалардың ең аз мүмкін санын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $S$ деп $n^4$ саны кем дегенде $n^2+1, n^2+2, \ldots, n^2+2n$ санының біреуіне бөлінетіндей барлық осындай натурал $n$ сандарының жиыны болсын. $S$ жиынында $7m$, $7m+1$, $7m+2$, $7m+5$, $7m+6$ түріндегі сандар шексіз көп болатынын және $7m+3$ мен $7m+4$ түріндегі сандар мүлде жоқ екенін дәлелдеңіз, мұндағы $m$ — бүтін сан.
комментарий/решение
комментарий/решение