8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Задача №1. Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_{11}$ — перестановка чисел 1, 2, $\ldots$, 11. Пусть $$A=(1+a_1)\cdot(2+a_2)\ldots(11+a_{11}).$$ Всегда ли число $A$ делится без остатка
   а) на 2?
   б) на 4?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2. В ряд встали 100 человек. Каждый из них либо лжец (который всегда лжёт), либо рыцарь (который всегда говорит правду). Каждый говорит: «Слева от меня больше лжецов, чем рыцарей справа от меня». Сколько в ряду лжецов?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Даны 101 положительных чисел, каждое из которых меньше $\frac{S}{100}$, где $S$ — сумма всех 101 чисел. Докажите, что из любых трех этих чисел можно составить треугольник.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Дан прямоугольник $ABCD$ с соотношением сторон $AB:AD=1:2$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Внутри угла $BAN$ отмечена точка $K$ так, что $AK=BM$ и ${BK \perp BM}$. Прямые $AK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $PD$ и $MN$ — в точке $Q$. Докажите, что $\angle AQP=60^\circ$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5. Найдите все пары натуральных чисел $(m, n)$ таких, что ${2m - 1}$ делится на $n$, а ${3n - 1}$ делится на ${m}$.
комментарий/решение(1)

---