қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2022-2023 учебный год. 7 класс.
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышы берілген. $X$ және $Y$ нүктелері $X,B,C,Y$ нүктелері осы ретпен бір түзудің бойында жататындай және $AC = BX$, $AB = CY$ шарттарын қанағаттандырады. $P,Q,R$ нүктелері — сәйкесінше $AX,AY,BC$ кесінділерінің орталары. Егер $\angle PRQ = 2\angle BAC$ болса, онда $\angle BAC = 60^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $x_1>0$ және $$\overline{x_1x_2\ldots x_n} = x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3$$ болатын $x_1,x_2,\ldots,x_n$ цифрлары табылатындай барлық тақ натурал $n$ сандарын табыңыз. (Цифр деп $0,1,2,\ldots, 9$ сандарын айтамыз.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Теңдеуді натурал сандарда шешіңіз \[b^3 + 2023 = a(3a^2+ 5ab + b^2). \]
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $1,2,\ldots,2023$ сандарының ішінен 1988 сан таңдап алынған. $a+b=c^2+2$ болатындай таңдалған сандардың ішінен $a,b,c$ (әртүрлі болуы міндетті емес) сандары табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение