қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.
Есеп №1. $A=\frac{1^{4}+2024^{4}+2025^{4}}{1^{2}+2024^{2}+2025^{2}}$. $A$-ның мәнi бүтiн сан болатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ және $xyz=1$ шарттары орындалатын $x, y, z$ оң нақты сандар болсын. Онда, $\min \{x+y, y+z, z+x\} \leq 2$ болатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $\Gamma$ мен $\Omega$ шеңберлері іштей $A$ нүктесінде жанасады. $\Omega$ шеңбері $\Gamma$ шеңберінің ішінде жатыр. $\Gamma$ шеңберінен $A$ нүктесінен басқа $P$ нүктесі алынған. $\Gamma$ шеңберінің $P R$ мен $P Q$ хордалары $\Omega$ шеңберін сәйкес $B$ және $C$ нүктелерінде жанайды. $A P$ түзуі $\Omega$ шеңберін $X$ $(X \neq A)$ нүктесінде қияды. $A C$ мен $B X$ түзулері $Y$ нүктесінде қиылысады ( $C$ нүктесі $A$ мен $Y$-тің арасында, ал $X$ нүктесі $B$ және $Y$ нүктесінің арасында жатыр). Егер $Y$ нүктесі $\Gamma$ шеңберінің бойында жатса, $A Q \cdot C R \neq A R \cdot B Q$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Төмендегі теңдікті қанағаттандыратын натурал $m, n$ сандары табылатындай барлық жай $p$ сандарын табыңыз: $p^{m}=n^{3}+8$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Бiр ұмытшақ ғалымның зертханасында сыртқы түрiнен айырмашылығы бiлiнбейтiн 462 кристалл сақтаулы тұр. Олардың арасында мiндеттi түрде мыналар бар: 1 энергия кристалы, 1 бейтараптандырғыш кристалл (егер ол энергия кристалдың қасында тұрса, онда ол энергия кристалдың қасиеттерiн басады), 460 қарапайым кристалл.
Ғалым, өзiнiң ұмытшақтығынан барлық кристалды бiр қорапқа салып қойды да, ендi қай кристалл қайсы екенiн ажырата алмай отыр.
Детекторды бiр рет қолданғанда, оған бiрнеше кристалл салады (кез келген мөлшерде кристалл салуға болады, 1-ден бастап барлығы 462-ке дейiн). Кейiн детектор салынған кристалдардың түрлерiне байланысты қорытынды көрсетедi.
Егер детекторға тек қарапайым кристалдар салынса, ол ешқандай белгi бермейдi.
Егер салынған кристалдардың арасында энергия кристалы болып, бiрақ бейтараптандырғыш кристалл болмаса, энергия кристалы жасыл түспен жанады.
Егер кристалдардың арасында бейтараптандырғыш кристалл болса (энергия кристалдың бар-жоғына қарамастан), детектор ешқандай белгi бермейдi — энергия кристалдың қасиеттерi басылады.
Алайда бiр шектеу бар: детектор аккумуляторының қуаты тек 11 тексеруге жетедi.
Ғалым, детекторды 11 реттен көп қолданбай, 462 кристалдың қайсысы энергия кристалы екенiн анықтай ала ма?
комментарий/решение(1)
Ғалым, өзiнiң ұмытшақтығынан барлық кристалды бiр қорапқа салып қойды да, ендi қай кристалл қайсы екенiн ажырата алмай отыр.
Детекторды бiр рет қолданғанда, оған бiрнеше кристалл салады (кез келген мөлшерде кристалл салуға болады, 1-ден бастап барлығы 462-ке дейiн). Кейiн детектор салынған кристалдардың түрлерiне байланысты қорытынды көрсетедi.
Егер детекторға тек қарапайым кристалдар салынса, ол ешқандай белгi бермейдi.
Егер салынған кристалдардың арасында энергия кристалы болып, бiрақ бейтараптандырғыш кристалл болмаса, энергия кристалы жасыл түспен жанады.
Егер кристалдардың арасында бейтараптандырғыш кристалл болса (энергия кристалдың бар-жоғына қарамастан), детектор ешқандай белгi бермейдi — энергия кристалдың қасиеттерi басылады.
Алайда бiр шектеу бар: детектор аккумуляторының қуаты тек 11 тексеруге жетедi.
Ғалым, детекторды 11 реттен көп қолданбай, 462 кристалдың қайсысы энергия кристалы екенiн анықтай ала ма?
комментарий/решение(1)