29-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Македония, 2025 год

Есеп №1. Кез келген оң нақты $a, b, c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$ \frac{(a^2 + bc)^2}{b + c} + \frac{(b^2 + ca)^2}{c + a} + \frac{(c^2 + ab)^2}{a + b} \geq \frac{2abc(a + b + c)^2}{ab + bc + ca}. $$ ( Турция )
комментарий/решение(4)

Есеп №2. $20252025\ldots 2025$ түріндегі (яғни $2025$ санының бір немесе бірнеше рет қатарынан қайталанған блоктарынан тұратын) толық квадрат болатындай барлық сандарды табыңыз. ( Сербия )
комментарий/решение(4)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышы тік бұрышты, мұнда $\angle A = 90^\circ$. $D$ — $A$ нүктесінен $BC$ қабырғасына түсірілген биіктіктің табаны, ал $E$ — $DC$ кесіндісінің ортасы. $ABD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AE$ кесіндісін екінші рет $F$ нүктесінде қияды. $AB$ және $DF$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысады. $XD = XC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(12)

Есеп №4. $n$ — натурал сан болсын. $1$-ден $n$-ге дейінгі бүтін сандар $n \times n$ өлшемдегі кестенің ұяшықтарына (әр ұяшыққа бір сан) жазылған, мұнда әр сан әрбір қатарда және әрбір бағанда дәл бір рет кездеседі. $r_i$ деп — $i$-ші қатардағы ($1 \le i \le n$) $(a, b)$ жұптарының саны, мұнда $a > b$, бірақ $a$ саны $b$-дан сол жақта орналасқан (көрші тұруы міндетті емес). Сол сияқты, $c_j$ — $j$-ші бағандағы ($1 \le j \le n$) $(a, b)$ жұптарының саны, мұнда $a > b$, бірақ $a$ саны $b$-дан жоғары орналасқан (көрші тұруы міндетті емес). $$ r_1 + r_2 + \cdots + r_n + c_1 + c_2 + \cdots + c_n$$ қосындының мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз. Ескерту: $n \times n$ кестесінде қатарлар жоғарыдан төмен қарай $1$-ден $n$-ге дейін, ал бағандар солдан оңға қарай $1$-ден $n$-ге дейін нөмірленеді. ( Болгария )
комментарий/решение(4)

результаты