қазақша
русский29-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Македония, 2025 год
Задача №1. Для любых положительных действительных чисел \(a, b, c\) докажите, что $$ \frac{(a^2 + bc)^2}{b + c} + \frac{(b^2 + ca)^2}{c + a} + \frac{(c^2 + ab)^2}{a + b} \geq \frac{2abc(a + b + c)^2}{ab + bc + ca}. $$
(
Турция
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Определите все числа вида $20252025\ldots 2025$ (состоящие из одного или нескольких подряд идущих блоков числа $2025$), которые являются квадратами положительных целых чисел.
(
Сербия
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с $\angle A = 90^\circ$. Пусть $D$ — основание высоты из точки $A$ на сторону $BC$, а $E$ — середина отрезка $DC$. Окружность, описанная около треугольника $ABD$, пересекает отрезок $AE$ в точке $F$. Пусть $X$ — точка пересечения прямых $AB$ и $DF$. Докажите, что $XD = XC$.
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)
Задача №4. Пусть $n$ — натуральное число. Целые числа от $1$ до $n$ записаны в клетках таблицы размера $n \times n$ (по одному числу в клетке) так, что каждое число встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце. Обозначим через $r_i$ количество пар $(a, b)$ чисел в $i$-й строке ($1 \le i \le n$), таких что $a > b$, но $a$ записано левее $b$ (необязательно непосредственно рядом). Аналогично, обозначим через $c_j$ количество пар $(a, b)$ чисел в $j$-м столбце ($1 \le j \le n$), таких что $a > b$, но $a$ записано выше $b$ (необязательно непосредственно над ним). Определите наибольшее возможное значение суммы $$ r_1 + r_2 + \cdots + r_n + c_1 + c_2 + \cdots + c_n. $$ Замечание: В таблице $n \times n$ строки пронумерованы от $1$ до $n$ сверху вниз, а столбцы — слева направо.
(
Болгария
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)