12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, третья лига, 11-12 классы

Есеп №1. $AB=AC$ болатын теңбүйірлі $ABC$ үшбұрыш берілген. $X$ және $Y$ нүктелері $BC$ қабырғасында орналасқан және $X$ нүктесі $B$ мен $Y$ арасында жатыр. $AYB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $\omega_{1}$, ал $C$ және $X$ нүктелері арқылы өтетін және $AC$-ны жанайтын шеңберді $\omega_{2}$ деп белгілейік. $\omega_{1}$ және $\omega_{2}$ шеңберлері $M$ және $N$ нүктелерінде қиылысады. $\angle AMX=\angle BNX$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышы $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. $X$ және $Y$ нүктелері тиісінше $DB$ және $CA$ сәулелерінде $DA=DX$, $CB=CY$ болатындай орналасқан. $AX$ және $BY$ түзулері $CD$-ны тиісінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $APC$ және $BQD$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радикаль осі мен $AB$ қабырғасының орта перпендикуляры $\omega$-ның бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №3. $M$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасының ортасы $(AB \neq AC)$. $AM$ кесіндісінде еркін таңдалған $X$ нүктесі белгіленген. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберде $A'$ нүктесі $AA' \parallel BC$ болатындай алынған. $AXA'$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AB$ және $AC$ түзулерін екінші рет, сәйкесінше, $F$ және $E$ нүктелерінде қияды. $BC$ және $A'X$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $P$, $M$, $E$, $F$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №4. $AB=AC$ болатын теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышы берілген. $M$ және $N$ нүктелері $BC$ қабырғасында орналасқан және $\angle MAN=\frac{1}{2}\angle BAC$, мұнда $M$ нүктесі $B$ мен $N$ арасында жатыр. $P$ нүктесі — $AMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. $AM$ және $AN$ кесінділерінің орта перпендикулярлары $BC$ қабырғасын тиісінше $R$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $S$ нүктесі $PR$ түзуінде, ал $T$ нүктесі $PQ$ түзуінде $ST \perp PA$ болатындай орналасқан. $K$ және $L$ нүктелері $A$ нүктесіне, сәйкесінше, $QS$ және $RT$ түзулеріне қатысты симметриялы нүктелер. $CMK$ және $BNL$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $BC$ қабырғасының орта перпендикулярында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AC$ және $AB$ қабырғаларын тиісінше $E$ және $F$ нүктелерінде жанайды. $\omega_{1}$ шеңбері $BE$ және $CE$ кесінділерін, сондай-ақ $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайды. $\omega_{2}$ шеңбері $CF$ және $BF$ кесінділерін, сондай-ақ $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайды. $\omega_{1}$ және $\omega_{2}$ шеңберлерінің сыртқы ортақ жанамалары $ABC$ үшбұрышына іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радикаль осінде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение