Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2026 год

Задача №1. Четыре ученика записывали в свои тетради четырёхзначное число с доски, но с ошибкой, пропуская по одной цифре: первый — 1-ю цифру, второй — 2-ую, третий — 3-ю, четвёртый — 4-ую. Могла ли сумма этих четырех трехзначных чисел в тетрадях равняться 2026? (Считайте, что число на доске не имеет цифру 0.)
комментарий/решение

Задача №2. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$, $E$ — середина $AB$, $F$ — пересечение отрезков $BD$ и $CE$. Оказалось, что $\angle BAD =60^\circ, \angle CEB=70^\circ, \angle DFC=80^\circ, \angle ECB = 55^\circ.$ Чему может быть равен $\angle BDC$?
комментарий/решение

Задача №3. Целые числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условиям: $$ab + c = 20, \quad bc + a=26, \quad ca + b =526.$$ Найдите значение выражения $ab + bc + ca$.
комментарий/решение

Задача №4. На доске $2026 \times 2026$ расставлено несколько ладей. Докажите, что их можно покрасить в три цвета так, чтобы никакая ладья не била другую ладью такого же цвета.
комментарий/решение

Задача №5. На шахматной доске $8 \times 8$ в нижнем ряду в клетке $P$ стоит фишка (см. рис.) На каждом ходу эту фишку можно переместить на одну клетку из белых, сверху по диагонали. Сколько существует путей из 7 ходов от $P$ до $Q$? (На рисунке показан пример одного такого пути.)

комментарий/решение

Задача №6. На поле находятся 64 лошади. Их скорости различны, но постоянны (людям на поле скорости лошадей неизвестны). На беговой дорожке можно проводить забег одновременно для ровно 4 лошадей. Можно фиксировать порядок финиша лошадей на каждом забеге. Какое наименьшее количество забегов необходимо провести, чтобы определить двух самых быстрых лошадей?
комментарий/решение

Задача №7. Биссектриса $BD$ треугольника $ABC$ отсекает от него равнобедренный треугольник $BCD$, а биссектриса $CE$ отсекает от $ABC$ тупоугольный равнобедренный треугольник $ACE$. Найдите углы треугольника $ABC$.
комментарий/решение

Задача №8. Дано натуральное число $n$ и ненулевые целые числа $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$. Известно, что для любых трёх индексов ${i}, {j}, {k} \in \{1,2, \ldots, {n}\}$ (не обязательно различных) число $a_{i}a_{j}a_{k}$ делится на число $\left(3 a_{i}+4 a_{j}-5 a_{k}\right)$. Докажите, что для любых ${i}, {j}, {k}$ хотя бы одно из следующих трёх чисел делится на 4: $$ 3 a_{j}+4 a_{i}-5 a_{k}, \quad 3 a_{k}+4 a_{j}-5 a_{i}, \quad 3 a_{i}+4 a_{k}-5 a_{j}.$$
комментарий/решение