қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур заключительного этапа
Есеп №1. Егер натурал санды қатар келген $k$ натурал сандардың қосындысы түрінде жаза алсақ, оны $k$-жақсы сан деп атаймыз. Мұғалім Васяға $n$ санын таңда деп айтты. Егер $n$ саны әрбір $2 \le k \le 6$ саны үшін $k$-жақсы сан болса, онда әрбір осындай $k$ үшін бес деген баға қоям деді. Вася ең көп дегенде неше бес деген бағаны ала алады?
(
Методическая комиссия Эйлера
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Сыныпта 6-дан көп, бірақ 60-тан аз оқушы бар және сыныпта 7 үйірме ұйымдастырылған. Әрбір оқушы бірдей мөлшерде үйірмеге қатысады. Кез келген екі үйірме үшін, осы үйірменің екеуіне де баратын дәл үш оқушы табылады. Осындай сыныпта қанша оқушы болуы мүмкін?
(
Ф. Фот
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Теріс емес $a$, $b$ және $c$ сандары үшін $a^2+b^2+c^2 = a+b+c$ теңдігі орындалады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$\frac{(a-1)^{2}}{b+c+1}+\frac{(b-1)^{2}}{c+a+1}+\frac{(c-1)^{2}}{a+b+1} \leqslant \frac{3}{1+a+b+c}.$$
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Буын ұзындықтары бірдей 1000 буынды тұйық сынық берілген. Оның көрші емес кез келген екі буынының ұштары беттеспейді және ешқандай буынның ұшы басқа буынның ішінде жатпайды. $k$-ның қандай ең үлкен мәнінде, әрбір буын қалған буындардың кемінде $k$-сымен тік бұрыш жасап қиылыса алады?
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение
комментарий/решение