қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Дан квадрат $9 \times 9$, все клетки которого белые. За один ход разрешается изменить цвет у трёх подряд стоящих в столбце или в строке клеток на противоположный (если клетка белая, она становится чёрной, а если чёрная — белой). Можно ли помощью указанных ходов, из данного квадрата получить квадрат с шахматной раскраской, угловые клетки которого белые?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали равны, $\angle ADB = \angle ACD$, $CD = 3$, $AD = 1$ и $\angle BAD = 150^\circ$. Найдите $BC$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Все делители натурального числа $n$ выписали в порядке возрастания в один ряд. Делитель в этом ряду называется красивым, если он делится на соседний делитель, стоящий слева. Докажите, что если $n$ имеет нечётное число красивых делителей, то $n$ можно представить в виде $pm^2$, где $p$ — простое число, а $m$ — натуральное.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. На столе стоит 50 гирь попарно различных положительных весов. Может ли случиться, что для любых 24 из этих гирь среди оставшихся гирь можно выбрать несколько такого же суммарного веса?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение