қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.
Есеп №2. Сүйір бұрышты $A B C$ үшбұрышы берілген, үшбұрышының сырттан іштей сызылған шеңбері $B C$ қабырғасын $D$ нүктесінде, ал $A B$ және $A C$ қабырғаларының созындыларын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде жанайды. $P$ және $Q$ нүктелері сәйкесінше $D$ және $F$ нүктелерінен $A C$ мен $B C$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың табандары. $D F$ және $P Q$ түзулері $A B$ кесіндісін тең үш бөлікке бөледі. $A B: B C: C A$ табыңыз (үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы).
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-2 x}+\ldots+\frac{1}{1-2026 x}=0$ теңдеуінің барлық нақты түбірлерінің қосындысы $s$-ка тең. $5{,}5 < s < 11$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Жазықтықтағы нүктелер жиыны 120 нүктеден тұрады, олардың кез келген үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. Жиынның екі нүктесін қосатын әрбір кесінді көк немесе сары түске боялған. Бұл жиынның сегіз ішкі жиынға келесідей бөленетіні белгілі: осы ішкі жиындардың кез келгені үшін оның кез келген екі нүктесі көк кесіндімен қосылған. Сондай-ақ, кез келген осындай бөлуде әрбір ішкі жиында дәл он бес нүкте болатыны белгілі. Ең көп дегенде қанша кесінді көк түске боялған болуы мүмкін?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Келесі екі шартты бір мезгілде қанағаттандыратын $n$ натурал саны және $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ жай сандары бар ма?
1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
2) кез келген тең емес $i, j$ үшін $p_{i} \neq p_{j}.$
комментарий/решение(1)
1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
2) кез келген тең емес $i, j$ үшін $p_{i} \neq p_{j}.$
комментарий/решение(1)