П. Кожевников


Задача №1.  Даны натуральные числа $a$ и $b$, причем $a < 1000$. Докажите, что если $a^{21}$ делится на $b^{10}$, то $a^2$ делится на $b$. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, $AC \parallel DE$, $CE \perp BC$. Докажите, что $EC$ — биссектриса угла $BED$. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение олимпиада