қазақша
русскийС. Полянских
Есеп №1. Дана бесконечная клетчатая бумага с размером клеток $1$ см. В узлах клеток отмечено $2019$ точек так, что расстояние между любыми двумя отмеченными точками равно натуральному числу сантиметров. Докажите, что больше $333333$ из этих расстояний являются натуральными числами, которые делятся на $3$. ( С. Полянских )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $AC$ қабырғасы ең үлкені. Центрі $A$ радиусы $AB$ болатын $\omega_1$ шеңбері $BC$ қабырғасын $F$ нүктесінде қияды. Центрі $C$ радиусы $CB$ болатын $\omega_2$ шеңбері $AB$ қабырғасын $E$ нүктесінде қияды. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері екінші рет $D$ нүктесінде қиылысады. B нүктесінен өтетін $EF$ түзуіне параллель түзу $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерін екінші рет сәйкесінше $G$ және $T$ нүктелерінде қияды. $GT=DF+DE$ болатынын дәлелдеңіз. ( С. Полянских )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №3. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $AC$ қабырғасы ең үлкені. Центрі $A$ радиусы $AB$ болатын $\omega_1$ шеңбері $BC$ қабырғасын $F$ нүктесінде қияды. Центрі $C$ радиусы $CB$ болатын $\omega_2$ шеңбері $AB$ қабырғасын $E$ нүктесінде қияды. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері екінші рет $D$ нүктесінде қиылысады. B нүктесінен өтетін $EF$ түзуіне параллель түзу $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерін екінші рет сәйкесінше $G$ және $T$ нүктелерінде қияды. $GT=DF+DE$ болатынын дәлелдеңіз. ( С. Полянских )
комментарий/решение(6) олимпиада