Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2012 жыл

$xOy$ координат жазықтығында $y={{x}^{2}}$ параболасы салынған. $A$, $B$ және $C$ берілген параболадағы әр түрлі нүктелер болсын. $BC$ түзуінің $Oy$ өсімен қиылысу нүктесін ${{A}_{1}}$ арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты ${{B}_{1}}$ мен ${{C}_{1}}$ нүктелері анықталсын. $A$, $B$ және $C$ нүктелерінен $Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысы ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерінен $Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысынан үлкен екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$A(x_{1},x_{1}^2),B(x_{2},x_{2}^2),C(x_{3},x_{3}^2)$ , тогда координаты $A_{1}(0,-x_{2}x_{3}),B_{1}(0,-x_{1}x_{3}),C_{1}(0,-x_{1}x_{2})$. Сумма расстояний в неравенстве запишется как $x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2 > x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}$ верность того вытекает из неравенство Коши Шварца.