қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2015 жыл
$ABC$ үшбұрышында, $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы, ал $O$ нүктесі сырттай сызылған шеңбердің центрі. $R-r=OM$ екені анықталды. $A$ төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы $BC$ түзуін $D$ нүктесінде қияды, ал $C$ төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы $AB$ түзуін $E$ нүктесінде қияды. $CED$ бұрышының барлық мүмкін мәндерін табыңыз.
(
Д. Ширяев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
в обычных обозначениях пусть $AB=c,CA=b,AC=b$.
Имеем $(R-r)^2+\frac{c^2}{4}=R^2\Rightarrow (a+b-2c)((a-b)^2+ac+bc)=0\Rightarrow c=\ фрак{а+b}{2}$.
Предположим, что внутренняя биссектриса $\angle{BAC}$ и $\angle{ACB}$ пересекает противоположную сторону в точках $F$ и $G$ соответственно.
Боковой удар дает нам $\frac{BE}{BG}=\frac{BD}{DC}$, поэтому $DE\parallel CG$ и $\angle{CED}=\angle{ECG}=90^{\circ }$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.