Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, $H$ — его ортоцентр. Обозначим через $M$ середину отрезка $BH$, а через $N$ проекцию точки $H$ на биссектрису внутреннего угла $B$. докажите, что прямая $MN$ делит сторону $AC$ пополам.

Комментарий/решение

  Пусть $E$  середина $AC$, $D$ и $F$ основание высот из $A$ и $B$  соответственно.

Заметим что $EF$=$ED$, $NF=ND$ и $MF=MD$ значит $M,N,F$ лежат на серединном перпендикуляре к $DF$