1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 8-я олимпиада, 2021 год
  6. Вторая лига, 9-10 классы

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы


Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $AB=AC$. $H$ нүктесі $\triangle ABC$-ның биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $E$ нүктесі $AC$-ның ортасы, ал $D$ нүктесі $BC$ қабырғасында $3CD=BC$ болатындай орналасқан нүкте. $BE\perp HD$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABCD$ параллелограмының $AB$, $CD$ қабырғаларынан сәйкесінше $E$, $F$ нүктелері $\angle EDC = \angle FBC$ және $\angle ECD = \angle FAD$ болатындай алынған. $AB \geq 2BC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(7)
Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $AB = BC$, $\angle ABD = \angle BCD = 90^{\circ}$. Төртбұрыштың $AC$ және $BD$ диагоналдары $E$ нүктесінде қиылысады. $F$ нүктесі $AD$ қабырғасында $\frac{AF}{FD} = \frac{CE}{EA}$ болатындай алынған. Диаметрі $DF$ болатын $\omega$ шеңбері $ABF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбермен екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $EF$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $L$ нүктесінде қияды. $KL$ түзуі $CE$-ның ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы теңбүйірлі емес. $I$ нүктесі осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер центрі, ал $\Gamma$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $AI$ түзуі $\Gamma$-ны екінші рет $M$ нүктесінде қияды. $N$ нүктесі $BC$-ның ортасы, ал $T$ нүктесі $\Gamma$ бойында жатқан және $IN \perp MT$ болатындай орналасқан нүкте. $AI$ түзуіне $I$ нүктесінде тұрғызылған перпендикуляр түзу $TB$ және $TC$ түзулерін сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $PB=CQ$ екенін дәлелелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Дөңес $ABCDE$ бесбұрышының $CD$ қабырғасынан кез келген $X$ нүктесі алынған. $K$, $L$ нүктелері $AX$ кесіндісінде $AB=BK$ және $AE=EL$ болатындай орналасқан, $CXK$ және $DXL$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $Y$ нүктесінде қиылысады. $X$ нүктесінің $CD$ қабырғасының қай жерінен алынғанына қарамастан, осылай анықталған барлық $XY$ түзулері бір тұрақты нүкте арқылы өтетінін, немесе барлығы бір-біріне параллель болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)