Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур дистанционного этапа

Есеп №1. Дөңгелек үстел бойында $n$ адам отыр. Әр адам – тек шындықты айтатын сері, немесе тек өтірік айтатын — өтірікші. Олардың әрқайсысы басқалары туралы бәрін біледі: кімнің сері, кімнің өтірікші екенін. Журналист отырғандардың әрқайсысына: «Сенің оң жағында отырған көршің кім, сері ма, әлде өтірікші ма?» деген сұрақты қойған кезде, әрқайсысынан «сері» немесе «өтірікші» деген жауап алды. Үстел басында дәл 8 өтірікші отырғанын журналист білген. Оған қарамастан алынған жауаптардан ол отырғандардың қайсысы өтірікші екенін нақты анықтау мүмкін емес болып шықты. Сонда $n$ нешеге тең болуы мүмкін? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Натурал санның соңғы екі цифрын өшіріп, пайда болған санға бастапқы санды қосқан. Пайда болған қосынды $101^{50}-1$ санына тең бола алады ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышының $AC$ табанының $A$ нүктесінен әрі созындысынан $K$ нүктесі, ал бүйір $AB$ қабырғасында $L$ нүктесі $KL = LC$ болатындай алынған. Егер $KA = LB$ болса, $ABC$ бұрышын табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Петя, Вася және Коля айналма жолымен бір бағытта тұрақты жылдамдықпен жүгірді. Олар жүгіруді бір уақытта және бір нүктеден бастады. Петя бірінші рет Васяны төртінші айналымында (яғни, үш айналымнан артық жүгіріп, төртінші айналымды әлі аяқтамаған кезде), ал Коляны жетінші айналымында басып озды. Коля 10 айналым жасамастан бұрын Васяны (бірінші рет) басып озғанын дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Вася өлшемі $5\times 5$ болатын тақтаның бір ұяшығын көрінбейтін сиямен белгілеп қойды. Тақтадағы бір қатарда немесе бір бағанда орналасқан, қатар келген төрт ұяшықты таңдап, Васядан осы ұяшықтар арасында белгіленген ұяшық бар-жоғын сұрауға рұқсат етіледі. Әрбір келесі сұрақ алдыңғы сұраққа жауап алынғанан кейін қойылады. Белгіленген ұяшықты кепілді түрде анықтау үшін, кемінде неше сұрақ кою қажет? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)