Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа

Есеп №1. Тек $O$ нүктесінде жалғанған жанатын жүз $OA_1$, $\ldots$, $OA_{100}$ жіптерінен құралған жұлдыз берілген. Әр жіптің жану уақыты оның қай ұшынан жандырылғанына байланысты емес әрі жіптің жану жылдамдығы тұрақты болу міндетті емес. Егер жұлдызды $A_1$ нүктесінде жадырса ол толығымен 201 секундта, $A_2$ нүктесінде жандырса —202 секундта, $\ldots$, $A_{99}$ нүктесінде жандырса —299 секундта жанады. Егер жұлдызды $A_{100}$ нүктесінде жандырса, ол неше уақытта толығымен жанып бітеді? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. $n$ санын 10-нан 1000-ға (10 мен 1000 есепке алғанда) дейінгі барлық натурал сандарға бөлгенде, бөліндінің мәні әртүрлі тақ жай сандар, ал қалдықтары құрама сан (әртүрлі болуы міндетті емес) болатындай, натурал $n$ саны табылады ма? 0 саны құрама сан емес екенін еске саламыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Зергерде 100 алтын тиын бар. Сатып алушы осы тиындардың салмақтары қандай да бір ретте 1, 2, $\ldots$, 100 г екенін, ал зергер әр тиынның салмағы қандай екенін біледі. Зергер сатып алушыға 1 грамдық тиынның шынымен 1 грамм екенін дәлелдегісі келеді, бірақ әр қалған тиынның дәл салмағын көрсеткісі келмейді. Зергер екі табақты таразыда тек екі өлшеу арқылы өз дегеніне қалай жете алады? ( К. Кноп )
комментарий/решение

---

Есеп №4. Жазықтықта $n$ нүкте белгіленген. Кез келген екі белгіленген нүктені қосатын кесіндіге орта перпендикуляр жүргізсе, онда оның бір жағында бір белгіленген нүкте, ал екінші жағында ${n-1}$ белгіленген нүкте жататыны, ал орта перпендикулярдың бойында ешқандай нүкте жоқ екені белгілі. $n$ санының ең үлкен мүмкін мәні қандай? ( М. Иванов )
комментарий/решение

---