М. Иванов


Задача №1.  В распоряжении грузчика есть вагон и маленькая тележка. Вагон выдерживает груз весом до $1000$кг, а тележка — всего $1$кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем $1001$кг, а каждый мешок весит не больше $1$кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить в вагон и маленькую тележку, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2.  В распоряжении грузчика есть две тележки: одна выдерживает 8 кг, а другая — $9$ кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем $17$ кг, а каждый мешок весит не больше 1 кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить на эти две тележки, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Карточки с номерами от 1 до $2^n$ раздают $k$ детям, $1\leq k\leq 2^n$, так чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну карточку. Докажите, что количество способов раздать карточки делится на $2^{k-1}$, но не делится на $2^k$. ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  Пусть $a$, $b$, $c$ — попарно взаимно простые натуральные числа. Обозначим через $g(a, b, c)$ наибольшее натуральное число, не представимое в виде $xa+yb+zc$ при натуральных $x$, $y$, $z$. Докажите, что $g(a, b, c)\geq \sqrt{2abc}.$ ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  Для каждого $n$ представим число $n!$ в виде $ab^2$, где $a$ свободно от квадратов. Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ при всех достаточно больших $n$ выполнено неравенство $2^{(1-\varepsilon)n} < a < 2^{(1+\varepsilon)n}$. ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  Квадратный трехчлен $P(x)$, имеющий два вещественных корня, для всех $x$ удовлетворяет неравенству $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$. Найдите сумму корней трехчлена $P(x)$. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада