Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс


Задача №1.  Для натурального числа $k$ обозначим через $F_k$ — множество всех связанных плоских фигур, состоящих ровно из $k$ единичных клеток. Для произвольной плоской фигуры $f$ через $S(f)$ обозначим наименьшую возможную площадь прямоугольника, содержащего внутри себя $f$. Для заданного $n$ натурального определите $\mathop {\max }\limits_{f \in F_n } S\left( f \right)$. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
Задача №2. Вневписанная окружность с центром $I_b$ касается стороны $AC$ и продолжении сторон $BC$ и $BA$ треугольника $ABC$. Обозначим через $B_1$ середину дуги $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, содержащую вершину $B$, а через $B_2$ — основание внешней биссектрисы угла $B$. Докажите, что прямая $B_2I$ перпендикулярна прямой $B_1I_b$, где $I$ — центр вписанной окружности $ABC$.
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан многочлен $f(x,y,z)$ с целочисленными коэффициентами (от трех переменных $x, y, z$) такой, что $$f(x, y, z)=-f(z, y, x)=-f(z, y, x)=-f(y, x, z).$$ Докажите, что $f(a, b, c)$ — четное число для любых целых чисел $a, b, c$.
комментарий/решение(3)
Задача №4. Найдите все последовательности целых чисел $a_1 ,a_2 ,a_3 , \ldots,a_{2008}$, удовлетворяющих уравнению $$ \left( {2008 - a_1 } \right)^2 + \left( {a_1 - a_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {a_{2007} - a_{2008} } \right)^2 + a_{2008} ^2 = 2008. $$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$. Продолжение стороны $AC$ (за точку $C$) и касательная из точки $K$ к вписанной окружности треугольника $ABC$ пересекаются в точке $N$. Проведена окружность $\omega$, касающаяся сторон $AC$, $AB$ и описанной окружности треугольника $AKN$. Доказать, что описанная окружность треугольника $ABC$ касается $\omega$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение
Задача №6. Какое максимальное число плоскостей в пространстве можно выбрать так, чтобы нашлось 6 точек, удовлетворяющих следующим условиям:
а) на каждой из выбранных плоскостей находится не менее 4 из этих точек;
б) никакие 4 их этих точек не лежат на одной прямой?
комментарий/решение(1)