қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Әрбір натурал $k$ саны үшін ${{F}_{k}}$ арқылы дәл $k$ бірлік шаршыдан тұратын байланысты жазық фигуралардың жиынын белгілейік. Кез келген $f$ жазық фигурасы үшін $S\left( f \right)$ арқылы оны қамти алатын тіктөртбұрыштың ауданының ең аз мүмкін мәнін белгігейік. Берілген натурал $n$ үшін $\underset{f\in {{F}_{n}}}{\mathop{\max }}\,S\left( f \right)$ мәнін анықта.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Центрі ${{I}_{b}}$ болатын сыртта іштей сызылған шеңбер АВС үшбұрышының $AC$ қабырғасын, $BC$ және $BA$ қабырғаларының созындысын жанайды. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $B$ төбесі жатқан $AC$ доғасының ортасын ${{B}_{1}}$ деп, ал $B$ бұрышының сыртқы биссектрисасының табанын ${{B}_{2}}$ деп белгілейік. ${{B}_{2}}I$ түзуінің ${{B}_{1}}{{I}_{b}}$ түзуіне перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. Коэффициенттері бүтін (үш $x,y,z$ айнымалысы бар) $f(x,y,z)$ көпмүшелігі мынадай: $$f(x,y,z)=-f(x,z,y)=-f(z,y,x)=-f(y,x,z).$$ Кез келген бүтін $a,b,c$ сандары үшін $f(a,b,c)$ жұп сан болатынын дәлелде.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Теңдеуді қанағаттандыратын барлық ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots,{{a}_{2008}}$ бүтін сандар тізбегін анықтаңдар: $${{\left( 2008-{{a}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)}^{2}}+\ldots+{{\left( {{a}_{2007}}-{{a}_{2008}} \right)}^{2}}+{{a}_{2008}}^{2}=2008.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынған. $AC$ қабырғасының ($C$ нүктесінің арғы жағына) созындысы мен $K$ нүктесінен $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанама $N$ нүктесінде қиылысады. $AC$, $AB$ қабырғаларын және $AKN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтын $\omega $ шеңбері жүргізілген. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $\omega $ шеңберін жанайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Кеңістіктен мына шартты қанағаттандыратын 6 нүкте табылатындай етіп ең көп дегенде қанша жазықтық таңдап алуға болады:
а) әрбір таңдалған жазықтықта осы нүктелердің кемінде 4-еуі жатады;
ә) ешбір 4 нүкте бір түзудің бойында жатпайды?
комментарий/решение(1)
а) әрбір таңдалған жазықтықта осы нүктелердің кемінде 4-еуі жатады;
ә) ешбір 4 нүкте бір түзудің бойында жатпайды?
комментарий/решение(1)