қазақша
русский8-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2012 жыл
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында, $AB$ қабырғасының кез келген $D$ ішкі нүктесі белгіленген. $D$ нүктесінен $BC$ және $AC$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардың табандарын сәйкесінше $M$ және $N$ деп белгілейік, ал $H_1$ және $H_2$ арқылы сәйкесінше $MNC$ және $MND$ үшбұрыштарының ортоцентрлерін белгілейік. $AH_1BH_2$ төртбұрышының ауданы $D$ нүктесінің $AB$ қабырғасынан қалай таңдалғанына тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Өлшемі $n \times n$ болатын кестенің (бірлік) шаршыларының жиыны мына шартты қанағаттандыратын болса, ыңғайлы деп аталады: кестенің әрбір қатарында және әрбір бағанында осы жиынның кемінде екі шаршысы табылады. Әрбір $n \ge 5$ үшін мынадай $m$ санының ең үлкен мүмкін мәнін анықтаңдар: кез келген шаршысын өшірсек ыңғайлы болмай қалатын, бірақ өзі ыңғайлы, $m$ шаршыдан тұратын жиын табылады.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Коэффициенттері нақты сандар болатын $P$, $Q$ және $R$ көпмүшеліктері үшін $P(Q(x)) + P(R(x))$ көпмүшелігі тұрақты (бір санға тең) болып қалғаны белгілі болса, $P(x)$ және $Q(x) + R(x)$ көпмүшеліктерінің ең болмағанда біреуі тұрақты екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Төменгі шарттарды бір мезгілде қанағаттандыратын $m$ және $n$ бүтін сандары және $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясы табыла ма (мұнда $\mathbb{R}$ нақты сандар жиынын белгілейді):
i) кез келген $x \in \mathbb{R}$ үшін $f(f(x)) = 2f(x) -x - 2$ теңдігі орындалады;
ii) $m \le n$ және $ f(m) = n$?
комментарий/решение(1)
i) кез келген $x \in \mathbb{R}$ үшін $f(f(x)) = 2f(x) -x - 2$ теңдігі орындалады;
ii) $m \le n$ және $ f(m) = n$?
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагоналдарына $ACB'$ және $BDC'$ дұрыс үшбұрыштары салынған. Оған қоса, $B$ және $B'$ нүктелері $AC$ түзуінің бір жағында, ал $C$ және $C'$ нүктелері $BD$ түзуінің бір жағында жатыр. Егер $B'C' = AB + CD$ екені белгілі болса, $\angle BAD + \angle CDA$ қосындысының мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)