Математикадан жасөспірімдер арасындағы 7-ші Балкан олимпиадасы 2003 жыл, Измир, Турция

Есеп №1. $n$ саны натурал сан болсын. $A$ саны $2n$ цифрдан тұрады, барлығы 4; $B$ саны $n$ цифрдан тұрады, барлығы 8. $A+2B+4$ саны толық квадрат екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2.  Жазықтықта ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтындай $n$ нүкте берілсін және ол нүктелерді $A_1,A_2,\ldots,A_n$ әріптерімен қалай белгілесек те $A_1A_2\ldots A_n$ қисығы өз-өзін қимайды. $n$-нің мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыздар. ( Romania )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $D$, $E$, $F$ нүктелері сәйкесінше $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BC$, $CA$, $AB$ доғаларының орталары. $DE$ түзуі $BC$ және $CA$-ны сәйкесінше $G$ және $H$ нүктелерінде қисын, ал $M$ нүктесі $GH$ кесіндісінің ортасы болсын. $FD$ түзуі $BC$ және $AB$-ны сәйкесінше $K$ және $J$ нүктелерінде қисын, ал $N$ нүктесі $KJ$ кесіндісінің ортасы болсын.
а) $DMN$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыздар.
b) $AD$ және $EF$ түзулерінің қиылысу нүктесі $P$ болса, онда $DMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $PMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(9)

---

Есеп №4. $x, y, z > -1$ болсын. $ \dfrac{1+x^2}{1+y+z^2} + \dfrac{1+y^2}{1+z+x^2} + \dfrac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2 $ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

---