7-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Измир, Турция, 2003 год

Задача №1.  Пусть $n$ — натуральное число. Число $A$ состоит из $2n$ цифр, все 4; число $B$ состоит из $n$ цифр, все 8. Докажите, что $A+2B+4$ — точный квадрат.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Пусть на плоскости отмечено $n$ точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой и как бы мы не обозначили их буквами $A_1,A_2,\ldots,A_n$ ломанная $A_1A_2\ldots A_n$ не будет самопересекающейся. Найдите максимально возможное значение числа $n$. ( Romania )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Точки $D$, $E$, $F$ — середины дуг $BC$, $CA$, $AB$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащие точки $A$, $B$, $C$ соответственно. Пусть прямая $DE$ пересекает $BC$ и $CA$ в точках $G$ и $H$, а $M$ — середина отрезка $GH$. Пусть прямая $FD$ пересекает $BC$ и $AB$ в точках $K$ и $J$, а $N$ середина отрезка $KJ$.
a) Найдите углы треугольника $DMN$;
b) Докажите, что если $P$ — точка пересечения прямых $AD$ и $EF$, то центр описанной окружности треугольника $DMN$ лежит на описанной окружности треугольника $PMN$.
комментарий/решение(9)

---

Задача №4.  Пусть $x, y, z > -1$. Докажите неравенство $ \dfrac{1+x^2}{1+y+z^2} + \dfrac{1+y^2}{1+z+x^2} + \dfrac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2. $
комментарий/решение(4)

---