қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2011 жыл
Есеп №1. Қызыл, көк және жасыл балалар шеңберге тұрды. Мұғалім, қасында жасыл бара тұрған, қызыл балалардан қол көтеруді сұрағанда, 20 бала қол көтерді. Ал қасында жасыл бала тұрған, көк балалардан қол көтеруді сұрағанда, 25 бала қол көтерді. Қол көтерген балалардың біреуінің қасында 2 жасыл бала тұрғанын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $M$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасы. $AB$ түзуі бойында ${{S}_{1}}$ және ${{S}_{2}}$ нүктелері алынды. ${{S}_{1}}$ нүктесінен жүргізілген жанамалар ${{\omega }_{1}}$ шеңберімен ${{X}_{1}}$ және ${{Y}_{1}}$ нүктелерінде жанасады, ал ${{S}_{2}}$ нүктесінен жүргізілген жанамалар ${{\omega }_{2}}$ шеңберімен ${{X}_{2}}$ және ${{Y}_{2}}$ нүктелерінде жанасады. Егер ${{X}_{1}}{{X}_{2}}$ түзуі $M$ арқылы өтсе, ${{Y}_{1}}{{Y}_{2}}$ түзуі де $M$ арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Шексіз шахмат тақтасының әрбір торында, осы тордан, берілген $O$ торына ең кем дегенде неше жолмен ат фигурасы жете алатыны жазылған. Торды ерекше деп атайық, егер осы торда 100 саны жазылса және оның қасында орналасқан (қабырға бойынша) торларда 101 саны жазылса. Неше ерекше тор бар?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Натурал сандар тізбегінде 10 төрт дәрежелі сан және 100 куб бар. Осы тізбекте кем дегенде 2000 квадрат сан бар екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. 1-ден үлкен барлық сандар екі түске боялған (екі түс те пайдаланылған). $a+\dfrac{1}{b}$ және $b+\dfrac{1}{a}$ сандары әртүрлі түсті болатындай, нақты $a$ және $b$ бар екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Әрбір екі көршілес әріп әртүрлі болатындай, 10-нан артық әріптен тұратын сөз берілсін. Пайда болған сан периодтық болмайтындай (бірдей ішкі сөздерге бөлінбейтіндей), көршілес оналасқан екі әріпті орындарымен алмастыруға болатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Қарама-қарсы орналасқан қабырғалары тең, дөңес $AC'BA'CB'$ алтыбұрышы берілсін. $AA'$ кесіндісінің орта перпендикуляры мен $BC$ кесіндісі ${{A}_{1}}$ нүктесінде қиылысады. ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері осыған ұқсас жолмен анықталады. ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ бір түзу бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $P\left( n \right)$ бүтін коэффициенттері бар квадрат үшмүше. $\left( {{d}_{n}} \right)$ тізбегі өспелі болатындай, әрбір $n$ үшін $P\left( n \right)$ санында өзінің ${{d}_{n}}$ бөлгіші табылады (яғни $1 < {{d}_{n}} < P\left( n \right)$). $P\left( n \right)$ үшмүшесін, бүтін коэффициенттері бар екі сызықтық көпмүшелердің көбейтіндісіне жіктеуге болатынын немесе $P\left( n \right)$ мәнін барлық натурал нүктелерінде $m > 1$ натурал санына бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение