қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $CDB$ бұрышының биссектрисасы $AC$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қисын. $AB$ қабырғасынан $AK/BL=AM/BM$ болатындай $M$ нүктесі алынған. $KL$ және $DC$ түзулеріне $M$ нүктесінен түсірілген перпендикулярлар $AC$ және $DC$ түзулерін сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қисын. $CQP$ бұрышының $ACB$ бұрышынан екі есе кіші екенін дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Нақты $x,y,z\ge \frac{1}{2}$ сандары үшін ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ теңдігі орындалады. Сол сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right)\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 2.$$
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. Шексіз, қатаң түрде өспелі $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ натурал сандар тізбегі ${{a}_{{{a}_{n}}}}\le {{a}_{n}}+{{a}_{n+3}}$ шартын қанағаттандырады, бұл жерде $n$ — натурал сан. $k < l < m$ теңсіздігі мен ${{a}_{k}}+{{a}_{m}}=2{{a}_{l}}$ теңдігі орындалатындай шексіз көп $\left( k,l,m \right)$ натурал үштіктері бар екенін дәлелдеңіздер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Сүйір бұрышты $ABC$ $(AC > BC)$ үшбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $CD$ кесіндісі осы шеңбердің диаметрі. $DA$ сәулесінің $A$-дан ары созындысынан $K$, ал $BD$ кесіндісінен $L$ $(DL > LB)$ нүктелері $\angle OKD = \angle BAC$, $\angle OLD = \angle ABC$ болатындай алынған. $KL$ түзуінің $AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Әр $i =1, 2, \ldots, 100$ үшін $1 \le x_i \le 2017$ теңсіздігі орындалатын $(x_1,x_2, \ldots,x_{100})$ барлық мүмкін натурал сандар жиынтықтарын қарастырайық. Егер барлық $i =1, 2, \ldots, 100$ үшін $y_i > z_i$ болса, онда $(y_1,y_2, \ldots,y_{100})$ жиынтығын $(z_1,z_2, \ldots,z_{100})$ жиынтығынан үлкен деп айтамыз. Ешқандай жиынтық басқа ешқандай жиынтықтан үлкен болмайтындай, тақтаға ең көп дегенде қанша жиынтықтарды жазып шығуға болады?
(
Ильясов С.,
Аманкельды А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. ${{2}^{\frac{n-1}{2}}}+1$ саны $n$-ге бөлінетіндей, шексіз көп құрама натурал $n$ санының бар екенін дәлелдеңіз.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)