қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год
Есеп №1. ${2017}^{{2018}^a}+m^{{2018}^a}$ және ${2017}^{{2018}^b}+m^{{2018}^b}$ сандары өзара жәй болмайтындай $a$ және $b$ оң бүтін сандар жұбы табылатындай, барлық $m$ оң бүтін сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $М$ – дөңес $n$ бұрышты көпбұрышы берілген. Төбелері $M$-ң төбелерінде болатын кез-келген бесбұрыштың ішінде белгіленген дәл 3 нүкте жататындай етіп, $M$-ң ішіне белгілеуге болатын нүктелердің ең аз саны $k$ болсын. $ k \geq n-2$ болатынын дәлелдеңіз.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $A$ және $B$ төберелінен өтетін $\omega$ шеңбері $AC$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $\Gamma$ шеңбері $EF$ кесіндісін $P$ нүктесінде және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $AB$ доғасын $Q$ нүктесінде жанайды. $C,\ P,\ Q$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
Конаныхин А.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ функцияларын табыңыз:
(а) кез-келген $k\in S$ үшін, $f\left(k\right)\in S$ болатындай шексіз көп әртүрлі ақырлы $S$ жиындары табылады;
(b) кез-келген әртүрлі $m,n\in\mathbb{N}$ үшін $m-n\ \ |\ \ f\left(m\right)-f(n).$
(«|» бөледі дегенді білдіреді; басқаша айтқанда: $a|b$ болса, онда $b$ саны $a$-ға бөлінеді) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)
(а) кез-келген $k\in S$ үшін, $f\left(k\right)\in S$ болатындай шексіз көп әртүрлі ақырлы $S$ жиындары табылады;
(b) кез-келген әртүрлі $m,n\in\mathbb{N}$ үшін $m-n\ \ |\ \ f\left(m\right)-f(n).$
(«|» бөледі дегенді білдіреді; басқаша айтқанда: $a|b$ болса, онда $b$ саны $a$-ға бөлінеді) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)