қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №2. Найдите сумму: $\dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{2}{{3!}} + \dots + \dfrac{{n - 1}}{{n!}}$,
где $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Докажите неравенство: $a^2+b^2+c^2+2abc<2$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника периметра 2.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Решите систему уравнений:
$
\left\{
\begin{array}{rcl}
xy+y^2+x=5y, \cr
x^2+xy=6y. \cr
\end{array}
\right.
$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Докажите, что если положительные числа $a$, $b$, $k$, $n$
удовлетворяют неравенству $ab>ak+bn$, то $a+b>(\sqrt k + \sqrt n)^2 $.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Докажите, что если все стороны треугольника меньше 1, то его площадь меньше $\sqrt 3 /4$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Определите, какое из чисел больше $\sqrt{11}$ или $5-\sqrt[3]{5}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Пусть функция $y=f(x)$ при всех действительных $x$ определена, непрерывна и удовлетворяет условию: $f(f(x))=f(x)+x$. Найдите две такие функции $f$ (не равные тождественно нулю).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)