Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 7 сынып, 2019 жыл

Есеп №1. Егер натурал санды, цифрларының қосындысы бірдей болатын екі натурал санның көбейтіндісі ретінде жазуға болса, ондай санды керемет сан деп атаймыз. Мысалға, 2020 саны керемет сан, өйткені $2020=2 \cdot 1010.$ Алғашқы 2019 натурал сандардың ішінде керемет сандардың саны 888-ден артық емес екенін дәлелдеңіз. ( Ибатулин И. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Тақтада 12345678987654321 саны жазылған. Қанат пен Жанат келесі ойын ойнап жатыр: әр жүріс сайын ойыншы бір цифрді таңдап алып (алғашқы цифрдан өзгеше), оны 1-ге немесе 2-ге кемітеді. Бірақ теріс азайтынды алуға болмайды. Ойынды Қанат бастайды, сосын әрі қарай кезектесіп жүреді. Келесі жүрісті жүре алмаған ойыншы ұтылады. Егерде екі ойыншы да тек қана жеңіске ойнаса, ойынды кім ұтады?
комментарий/решение(4)

Есеп №3. $ABCD$ шаршысында $BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын $M$ нүктесінде қияды. $AC=BC+BM$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Келесі теңдеудің барлық бүтін шешімдерін табыңыз: $8x^3-4=y(6x-y^2).$
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Массасы 900 грамм болатын тіктөртбұрыш пішіндес торт қабырғаларына параллель болатын екі вертикаль және екі горизонталь түзулерімен 9 тіктөртбұрышты бөлікке бөлінген. Осы бөліктердің арасынан массаларының қосындысы 300 граммнан кем болмайтын және ортақ қабырғасы жоқ 3 бөлік таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Электронды таразы тек қана үш қарбыздың салмақтарының қосындысын көрсетеді. 6 рет осындай таразыны қолдану арқылы 10 қарбыздың салмақтарының қосындысын анықтаңыз. (Таразыда 1 немесе 2 қарбыздың салмағын табуға болмайды.)
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Биссектриса угла $BAC,$ квадрата $ABCD,$ пересекает сторону $BC$ в точке $M.$ Докажите, что $AC=BC+BM.$
комментарий/решение(2)

Есеп №8. $a,$ $b,$ $c$ нақты өзара тең емес сандары үшін $a^2-b=b^2-c=c^2-a$ теңдігі орындалады. $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)$ өрнегінің мәнін нешеге тең?
комментарий/решение(1)