қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур дистанционного этапа
Есеп №1. В зашифрованном равенстве АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ = ААБ цифры заменены буквами: одинаковые цифры — одной и той же буквой, а разные — разными буквами. Найдите все возможные расшифровки.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD = AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE = AC$. Какой отрезок длиннее — $EC$ или $AC?$
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Натуральные числа $n$ $(n > 1)$ и $k$ таковы, что для любого натурального делителя $d$ числа $n$ хотя бы одно из чисел $d+k$ и $d-k$ также является натуральным делителем числа $n$. Докажите, что число $n$ — простое.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Найдите все такие тройки положительных чисел $a, b, c,$ что $a+b+c = ab+ac+bc = abc.$
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Стороны 100 одинаковых равносторонних треугольников покрашены в 150 цветов так, что в каждый цвет покрашены ровно две стороны. Если приложить два треугольника одноцветными сторонами, то полученный ромб будем называть хорошим. Петя хочет сложить из этих треугольников как можно больше хороших ромбов, причем каждый треугольник должен входить не более, чем в один ромб. Какое наибольшее количество хороших ромбов может гарантировать себе Петя независимо от способа раскраски треугольников?
(
И. Рубанов,
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)