қазақша
русскийКеңшілік Е.
Есеп №1. Сүйір бұрышты теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышында $BD$ және $CE$ биіктіктері жүргізілген. $DE$ түзуінде $PC\perp BC$ және $QB\perp BC$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер диаметрін $AA_1$ деп белгілейік. $A_1$ нүктесі $BDQ$ және $CEP$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерінің ортақ хордасын қамтитын түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Кеңшілік Е. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №2. $ABC$ тікбұрышты үшбұрышы берілген, мұнда $\angle A = 90^\circ$ және $AB\ne AC$. $BC$, $AC$, $AB$ қабырғаларының сыртқы жағында гипотенузалары сәйкесінше $BC, CA, AB$ болатын теңбүйірлі тікбұрышты $BCX, CAY, ABZ$ үшбұрыштары салынған. $BACW$ төртбұрышы тіктөртбұрыш болатындай $W$ нүктесі алынған. $X,Y,Z,W$ нүктелері теңбүйірлі трапеция құрайтынын дәлелдеңіз. ( Кеңшілік Е. )
комментарий/решение(13) олимпиада
Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының $AC$ және $BD$ диагональдары $E$ нүктесінде қиылысады. $I_1, I_2, I_3, I_4$ — сәйкесінше $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ үшбұрыштарының іштей сызылған шеңберлерінің центрлері, ал $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ — сәйкесінше $ABI_1$, $BCI_2$, $CDI_3$, $DAI_4$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері. $M$ және $N$ — сәйкесінше $AC$ және $BD$ диагональдарының орталары. Егер $M\ne N$ болса, онда $MN$ түзуінің бойында $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ және $\omega_4$ шеңберлеріне қатысты нүкте дәрежелері тең болатын $P$ нүктесі табылатынын дәлелдеңіз. (Центрі $O$ және радиусы $r$ болатын шеңберге қатысты $X$ нүктесінің дәрежесі $OX^2 - r^2$ шамасына тең.) ( Зауытхан А., Кеңшілік Е. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №4. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының $AC$ және $BD$ диагональдары $E$ нүктесінде қиылысады. $I_1, I_2, I_3, I_4$ — сәйкесінше $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ үшбұрыштарының іштей сызылған шеңберлерінің центрлері, ал $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ — сәйкесінше $ABI_1$, $BCI_2$, $CDI_3$, $DAI_4$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері. $M$ және $N$ — сәйкесінше $AC$ және $BD$ диагональдарының орталары. Егер $M\ne N$ болса, онда $MN$ түзуінің бойында $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ және $\omega_4$ шеңберлеріне қатысты нүкте дәрежелері тең болатын $P$ нүктесі табылатынын дәлелдеңіз. (Центрі $O$ және радиусы $r$ болатын шеңберге қатысты $X$ нүктесінің дәрежесі $OX^2 - r^2$ шамасына тең.) ( Зауытхан А., Кеңшілік Е. )
комментарий/решение(2) олимпиада