8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Оң $k$ саны берілген. $y = \frac{k}{x}$ функциясының бірінші ширектегі тармағында $A$ және $B$ нүктелері белгіленген. $A$ нүктесінен абсцисса осіне $AC$ перпендикуляры, ал $B$ нүктесінен ордината осіне $BD$ перпендикуляры түсірілген. $AC$ және $BD$ кесінділері $E$ нүктесінде қиылысады. $ABE$ және $CDE$ үшбұрыштарының аудандары, сәйкесінше, 3,6-ға және 1,6-ға тең. $k$ мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

Пусть координаты точки $A(x,AC),B(BD,y)$

$\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AC-CE}{CE}=\dfrac{\dfrac{k}{x}-y}{y}=\dfrac{k-xy}{xy}$

$\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{BD-DE}{DE}=\dfrac{\dfrac{k}{y}-x}{x}=\dfrac{k-xy}{xy}=\dfrac{AE}{EC}$

Понятно что $\angle AEB=\angle DEC=90^\circ$

Тогда $\triangle AEB\sim \triangle CED$ по двум сторонам и углу между ними

Коэффицент подобия это $k_1=\dfrac{k-xy}{xy}=\sqrt{\dfrac{3,6}{1,6}}=1,5\Rightarrow k-xy=1,5xy\Rightarrow k=2,5xy=2,5DE\times EC=2,5\times 2\times 1,6=8$