8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Дано положительное число $k$. На ветви графика функции $y=\frac{k}{x}$, расположенной в первой четверти, отмечены точки $A$ и $B$. Из точки $A$ на ось абсцисс опущен перпендикуляр $AC$, а из точки $B$ на ось ординат — перпендикуляр $BD$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Площади треугольников $ABE$ и $CDE$ равны 3,6 и 1,6 соответственно. Найдите $k$.

Комментарий/решение

Пусть координаты точки $A(x,AC),B(BD,y)$

$\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AC-CE}{CE}=\dfrac{\dfrac{k}{x}-y}{y}=\dfrac{k-xy}{xy}$

$\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{BD-DE}{DE}=\dfrac{\dfrac{k}{y}-x}{x}=\dfrac{k-xy}{xy}=\dfrac{AE}{EC}$

Понятно что $\angle AEB=\angle DEC=90^\circ$

Тогда $\triangle AEB\sim \triangle CED$ по двум сторонам и углу между ними

Коэффицент подобия это $k_1=\dfrac{k-xy}{xy}=\sqrt{\dfrac{3,6}{1,6}}=1,5\Rightarrow k-xy=1,5xy\Rightarrow k=2,5xy=2,5DE\times EC=2,5\times 2\times 1,6=8$