Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

Кез келген $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$, $BC$ және $CA$ қабырғаларын $M$, $N$ және $K$ нүктелерінде жанайды және оның центрі $I$ деп белгілейік. $MN$ және $AC$ түзулерінің қиылысу нүктесін $E$ деп белгілесек, онда $IE$ түзуімен $BK$ түзуі перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

По известному утверждению $MN$ - это поляра точки $B$, так как $E$ лежит на этой поляре то по свойству поляр, точка $B$ лежит на поляре точки $E$, если $EF$ вторая касательная, то на $KF$. Значит $KFE$ равнобедренный треугольник и так как $EI$ его биссектриса то $EI \perp BK$.

Пусть $X$ - середина $MN$, а $Y$ - точка пересечения $IE$ и $BK$. Так как $XI\cdot BI=NI^2=KI^2$, отсюда следует, что окружность $(BXK)$ касается $IK$, значит $\angle XBK=\angle XKI$. Поскольку $MN\perp BI$, то точки $K$ и $X$ лежат на одной окружности с диаметром $EI$, отсюда получим, что $$\angle XKI=\angle IEX=\angle XBK=\angle XBD,$$ поэтому точки $E,Y,X$ и $B$ лежат на одной окружности, отсюда $\angle BDE=\angle BPE=90^\circ$, и значит $IE\perp BK$, что завершает решение задачи.