Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность с центром $I$ касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Обозначим через $E$ – точку пересечения прямых $MN$ и $AC$. Докажите, что прямая $IE$ перпендикулярна прямой $BK$.

Комментарий/решение

По известному утверждению $MN$ - это поляра точки $B$, так как $E$ лежит на этой поляре то по свойству поляр, точка $B$ лежит на поляре точки $E$, если $EF$ вторая касательная, то на $KF$. Значит $KFE$ равнобедренный треугольник и так как $EI$ его биссектриса то $EI \perp BK$.

Пусть $X$ - середина $MN$, а $Y$ - точка пересечения $IE$ и $BK$. Так как $XI\cdot BI=NI^2=KI^2$, отсюда следует, что окружность $(BXK)$ касается $IK$, значит $\angle XBK=\angle XKI$. Поскольку $MN\perp BI$, то точки $K$ и $X$ лежат на одной окружности с диаметром $EI$, отсюда получим, что $$\angle XKI=\angle IEX=\angle XBK=\angle XBD,$$ поэтому точки $E,Y,X$ и $B$ лежат на одной окружности, отсюда $\angle BDE=\angle BPE=90^\circ$, и значит $IE\perp BK$, что завершает решение задачи.