Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.

Оң нақты $a, b, c \geq 1$ сандары үшін $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2022$ теңдігі орындалады. $a+b+c \geq \sqrt{2020}+2$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

a^2+b^2+c^2=2022

2022 ні түбір астыга аламыз сол кезде бізде жуыктаганда 44 шығады демек а, b, c дағы мәндерды 1<а, b, c<44 аралықта аламыз

а^2+b^2+c^2=2022 орындалатындай мәндер аламыз 43 тең бастайык

43^2+b^2+c^2=2022

b^+c^2=173

Енды қандай 2 санның квадраттарынын қосындысы 173 ке тең екенін табамыз сонда бізде

13^2+2^2=173 демек

43^2+13^2+2^2=2022

а=43,b=13,с=2 осылардын орнына қойғанда теңдік орындалады

$a+b+c\ge \sqrt{2020}+2$

$\Leftarrow (a+b+c-2)^2\ge 2020$

$\Leftarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)-4(a+b+c)+4\ge 2020$

$\Leftarrow 2022+2(ab+bc+ca)-4(a+b+c)\ge 2016$

$\Leftarrow 3+ab+bc+ca-2(a+b+c)\ge 0$

$\Leftarrow (a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)\ge 0$

$\Leftarrow \ a-1\ge 0, \ b-1\ge 0, \ c-1\ge 0$