Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2026 год

Дано натуральное число $n$ и ненулевые целые числа $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$. Известно, что для любых трёх индексов ${i}, {j}, {k} \in \{1,2, \ldots, {n}\}$ (не обязательно различных) число $a_{i}a_{j}a_{k}$ делится на число $\left(3 a_{i}+4 a_{j}-5 a_{k}\right)$. Докажите, что для любых ${i}, {j}, {k}$ хотя бы одно из следующих трёх чисел делится на 4: $$ 3 a_{j}+4 a_{i}-5 a_{k}, \quad 3 a_{k}+4 a_{j}-5 a_{i}, \quad 3 a_{i}+4 a_{k}-5 a_{j}.$$ ( Оразбек Т. )

Комментарий/решение

$$3a_{i}+4a_{j}-5a_{k}|a_{i}a_{j}a_{k} \Rightarrow 2a_{i}|a_{i}^3 \Rightarrow 2|a_{i}$$

Допустим, это не верно. Тогда, из-за того что все числа четные, те выражения должны давать остаток 2 при делении на 4:

$$2(a_{j}+a_{k}+a_{i}) \equiv 3a_{i}+4a_{k}-5a_{j}+3a_{j}+4a_{i}-5a_{k}+3a_{k}+4a_{j}-5a_{i} \equiv 2*3 \equiv 2(mod 4)$$

но заметим, каждое число четное, отсюда и сумма любых трех четна, и значит удвоенная сумма делится на 4, противоречие

супер хорошее решение :))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Положим, $i=j=k$, откуда $2a_i \mid a_i^3 \iff 2 \mid a_i$. Отметим, что $4 \mid 3a_j+4a_i-5a_k \iff 4 \mid a_j+a_k$. Пусть $a_i = 2b_i$, хватает, что среди трёх чисел $b_i, b_j, b_k$ есть двое с чётной суммой. Если нет, то: $1 \equiv 1+1+1 \equiv (b_i+b_j)+(b_j+b_k)+(b_k+b_i) \equiv 2(b_i+b_j+b_k) \equiv 0 \pmod{2}$ противоречие.