9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Дана последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_9$, в которой каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Рассмотрим выражение $$S=* \ a_{1} \ * \ a_{2}\ * \ \ldots\ * \ a_{9}.$$ Могло ли оказаться так, что после замены каждой звёздочки на знак «${+}$» или «${-}$» в выражении, будет выполнено равенство $S=2025$?

Комментарий/решение

ОТВЕТ: НЕТ

Мы можем представить a1 как х, а2 как у.

Тогда сумма:

x+y+(x+y)+(x+2y)+(2x+3y)+(3x+5y)+(5x+8y)+(8x+13y)+(13x+21y)=34x+54y

Теперь мы можем заменить + на - Например: Мы можем поставить минус между а9 и а8. Тогда мы отнимем (26х+42у). И мы можем так отнимать пока не достигнем минимума 12х+20у=2025. В конце осталось это потому, что а9 лишь состоит из суммы других, а не является членом.

12x+20y= 4(3x+5y)

А так как 2025 это нечетное число и оно нацело на 4 не делится, значит это невозможно.