Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год

Есеп №1. Бүтін $a$ және $b$ сандары үшін $95a^2+80ab+20b^2$ өрнегі қандай ең кіші натурал мәнді қабылдай алады?
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Екі натурал санның қосындысы $9$-ға, ал көбейтіндісі $81$-ге бөлінсе, онда бұл екі санды жақсы сан деп атаймыз. Әр цифры $0$-ден артық бірақ $8$-ден кіші болатын, олар әртүрлі алты цифрмен жазылатын, әрқайсысы үш таңбалы болатын неше жақсы сандар жұбы бар? ($(M,N)$ мен $(N,M)$ жұптары бірдей деп есептеледі.)
комментарий/решение

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $\angle B=90^\circ$. $AC$ және $AB$ қабырғаларында, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелері $AP=PC$ және $\angle BQC=\angle AQP$ болатындай алынған. $AQ/QB$ қатынасын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Қуанышта сырты бірдей 10 тиын бар. Зергер олардың ішінде $5$-еуі шынайы және $5$-еуі жалған екенін айтты, бірақ қайсысы қандай екенін көрсетпеді. Бір тексеру кезінде Қуаныш кез келген $3$ тиынды таңдай алады, ал зергер олардың ішінен өз қалауы бойынша кез келген екі тиынды көрсетіп, сол екеуінің ішінде нешеуі жалған екенін алдамай айтып береді. Қуаныш зергердің әрекеттеріне қарамастан, $2025$ тексеру арқылы барлық $5$ жалған тиынды нақты анықтай алады деген тұжырым рас па?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Шаршы $5$ бөлікке бөлінген. Осы 5 бөліктің барлығын қолданып, тіктөртбұрыш құрастыра алсақ, онда сол тіктөртбұрыштың бір қабырғасы екіншісінен $5$ есе ұзын болуы мүмкін ба?
комментарий/решение(4)

Есеп №6. Жазықтықта $A,B,C,D$ нүктелері $DA=DB=DC$, $\angle BAC=35^\circ$, $\angle ABC=20^\circ$ болатындай орналасқан. Осы нүктелер трапецияның төбелері болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. $3 \times 3$ тор тақтаның әр ұяшығына бір немесе бірнеше фишка қойылған. Тақтадағы барлық фишка саны $N$-ге тең. Әр қатарда және әр бағанда фишкалар саны әртүрлі екені белгілі. $N$-нің ең кіші мүмкін мәні нешеге тең?
комментарий/решение(3)

Есеп №8. Келесі жүйені нақты сандар жиынында шешіңіз: $$\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{a}=b^{2025}+c^{2025},\\ 2\sqrt{b}=a^{2025}+c^{2025},\\ 2\sqrt{c}=a^{2025}+b^{2025}. \end{matrix}\right. $$
комментарий/решение(3)