қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2015 год. Беларусь
Есеп №1. $ABC$ — сүйір бұрышты үшбұрыш болсын, ал $D$ — $C$ төбесінен жүргізілген биіктіктің табаны. $ABC$ бұрышының биссектрисасы $CD$ кесіндісін $E$ нүктесінде қиып өтеді, ал $ADE$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $F$ нүктесінде қияды. Егер $\angle ADF = 45^{\circ}$ болса, онда $CF$ — $\omega$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Домино деп өлшемі $2 \times 1$ немесе $1 \times 2$ болатын тіктөртбұрышты айтамыз. Әрбір $2 \times 2$ шаршыда кемінде екі бос ұяшық болатындай, және сол бос ұяшықтардың екеуі бір қатарда немесе бір бағанда орналасатындай етіп, $2n \times 2n$ өлшемді шахмат тақтасына қабаттасусыз дәл $n^2$ доминоны неше әдіспен қойып шыға аламыз?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $n, m$ — 1-ден үлкен натурал сандар және $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}$ сандары $n^m$-нен аспайтын натурал сандар болсын. $$\text{ЕҮОБ}\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \ldots, a_{m}+b_{m}\right) < n$$ болатындай $n$-нен аспайтын $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ натурал сандарының табылатынын дәлелдеңіз, мұнда $\text{ЕҮОБ}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m})$ — $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Кез келген натурал $n$ үшін $a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_{n}}$ теңдігі орындалатындай шексіз $a_1, a_2, a_3, \ldots$ натурал сандар тізбегі бар ма?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $m > 1$ болатындай $m$ және $n$ — натурал сандар. Анастасия $1, 2, \ldots, 2m$ натурал сандарын $m$ жұпқа бөледі. Содан кейін Борис әрбір жұптан бір сан таңдап, таңдаған сандардың қосындысын есептейді. Анастасия Борис ешқашан қосындыны $n$-ге тең ете алмайтындай етіп, сандарды жұптарға бөле алатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $H$ — сүйір бұрышты $\triangle ABC$ үшбұрышының ортоцентрі, ал $G$ — ауырлық центрі, мұнда $AB \ne AC$. $AG$ түзуі $\triangle ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $A$ және $P$ нүктелерінде қиып өтеді. $P'$ — $P$ нүктесіне $BC$ түзуіне қатысты симметриялы нүкте. $\angle CAB = 60^{\circ}$ болған жағдайда ғана, және тек сол кезде ғана, $HG = GP'$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)