қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2025 год. Косово
Есеп №1. $c_1 < c_2 < \ldots < c_m$ арқылы натурал $N$ санынан кіші $N$-мен өзара жай болатын барлық оң бүтін сандарды белгілейік. Барлық $N \geqslant 3$ сандары үшін барлық $1 \leqslant i \leqslant m - 1$ үшін $$\text{ЕҮОБ}(N,\, c_i + c_{i+1}) \ne 1$$ болатындай барлық $N \ge 3$ сандарын табыңыз. Бұл жерде $\text{ЕҮОБ}(a,b)$ — $a$ және $b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші. Егер $\text{ЕҮОБ}(a,b)=1$ болса, $a$ және $b$ сандары өзара жай деп аталады.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. Өспелі шексіз $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ оң бүтін сандар тізбегі берілсін. Егер әр натурал $n$ саны үшін тізбектің алғашқы $a_n$ мүшесінің арифметикалық ортасы $a_n$ санына тең болса, бұл тізбекті орталық тізбек деп атаймыз. Rез келген орталық $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ тізбегі үшін $a_n = b_n$ болатындай шексіз көп $n$ табылатындай шексіз $b_1$, $b_2$, $b_3$, $\ldots$ натурал сандар тізбегі табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ — сүйір бұрышты үшбұрыш. $B$, $D$, $E$, $C$ нүктелері көрсетілген ретпен $BD = DE = EC$ болатындай бір түзудің бойында жатыр. $M$ және $N$ — $AD$ және $AE$ кесінділерінің орталары. Үшбұрыш $ADE$ сүйір бұрышты, ал $H$ — осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $P$ және $Q$ — сәйкесінше $BM$ және $CN$ түзулерінде жатыр, және келесі шарттар орындалады: $D$, $H$, $M$, $P$ — барлығы әртүрлі нүктелер және бір шеңбердің бойында жатады, сондай-ақ $E$, $H$, $N$, $Q$ — барлығы әртүрлі нүктелер және бір шеңбердің бойында жатады. $P$, $Q$, $N$, $M$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $I$ нүктесі — сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. $BI$ және $CI$ түзулері $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберін $P \ne B$ және $Q \ne C$ нүктелерінде қияды. $R$ және $S$ нүктелері келесідей нүктелер: $AQRB$ және $ACSP$ төртбұрыштары параллелограммдар (яғни $AQ \parallel RB$, $AB \parallel QR$, $AC \parallel SP$, $AP \parallel CS$). $T$ — $RB$ және $SC$ түзулерінің қиылысу нүктесі. $R$, $S$, $T$, $I$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $n > 1$ — бүтін сан болсын. $n \times n$ өлшемді тордың конфигурациясында әрбір $n^2$ ұяшықтың ішінде жоғары, төмен, солға немесе оңға бағытталған бір жебе орналасқан. Алғашқы конфигурация берілген, және Турбо атты ұлу тақтадағы бір ұяшықтан бастап қозғала бастайды. Әр қадамда Турбо өзінің тұрған ұяшығындағы жебенің бағыты бойынша бір ұяшыққа қозғалады (кейде тақтадан шығып кетуі мүмкін). Әр қадамнан кейін барлық ұяшықтағы жебелер $90^\circ$ сағат тіліне қарсы бағытта айналады. Ұяшық жақсы деп аталады, егер Турбо осы ұяшықтан шығып, тақтадағы барлық ұяшықтарды дәл бір рет қана аралап шығып, соңында бастапқы ұяшыққа қайта оралса. $n$-ге байланысты барлық мүмкін бастапқы конфигурациялар ішінен жақсы ұяшықтардың ең көп санын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $2025 \times 2025$ өлшемді кестенің әрбір ұяшығында нөлден кіші емес нақты сан жазылған, әрі әрбір жолдағы сандардың қосындысы $1$-ге тең, және әрбір бағандағы сандардың қосындысы да $1$-ге тең. $r_i$ деп $i$-ші жолдағы ең үлкен мәнді санды белгілейік, және $R = r_1 + r_2 + \dots + r_{2025}$ болсын. Сол сияқты $c_i$ деп $i$-ші бағандағы ең үлкен мәнді санды белгілейік, және $C = c_1 + c_2 + \dots + c_{2025}$ болсын. $\frac{R}{C}$ өрнегінің мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)