Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур дистанционного этапа

Есеп №1. Ёлкино мен Палкино екі елді мекен аралығында бірдей жылдамдықпен және бірдей уақыт аралықтарымен жүк көліктері жүреді, және басқа көлік жүрмейді. Петя мен Вася әр түрлі уақытта Палкинодан Ёлкиноға қарай тұрақты жылдамдықпен жаяу шықты. Петя Палкинодан Ёлкиноға қарай жолда 10 жүк көлігін, ал Вася 9 жүк көлігін кездестірді. Петяның жылдамдығы Васянікінен артық болуы мүмкін ба? ( И. Рубанов )
комментарий/решение

Есеп №2. 600 қораптың әрқайсысында не 5, не 18, не 22 шар бар (және барлық 5, 18, 22 шары бар қораптың үш түрі де кездеседі). Ішінде жалпы 2025 шар болатындай, осы 600 қораптан бірнеше қорап таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Тіктөртбұрыштың центрі арқылы оның қабырғаларына параллель емес, өзара перпендикуляр екі түзу жүргізілді. Осы түзулер тіктөртбұрышты аудандары тең төрт бөлікке бөлетіні анықталды. Бұл тіктөртбұрыш шаршы болмауы мүмкін ба? ( И. Рубанов )
комментарий/решение

Есеп №4. 2025 тақтаның әрқайсысына бір натурал саннан жазылған. Келесі операцияны орындауға болады: қандай да бір тақтадағы санды өшіріп, сол санның орнына оның кубын жазуға, ал қалған 2024 тақтадағы әрбір санның орнына, сәйкесінше, оны үшке бөлгенде шығатын бүтін санды жазуға болады (егер үшке бөлгенде кем дегенде бір бөлінді бүтін болмаса, операцияны орындау мүмкін емес!). Осындай бірнеше (кем дегенде бір) операцияны орындағаннан кейін, соңғы операциядан кейін әр тақтада бастапқы (сол тақтадағы бастапқы) сан қалатындай етіп, осы 2025 тақтаға бір саннан жазып шығуға бола ма? ( С. Берлов, А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $100\times 100$ тақтаның бұрышындағы 4 ұяшық кесіліп алынған. Сонда, тақтаның қалған бөлігінен $2\times 2$ шаршыны кесіп алу мүмкін болмайтындай етіп, тақтадан тағы кем дегенде неше ұяшықты кесіп алып тастау керек? ( С. Берлов )
комментарий/решение