қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур дистанционного этапа
Задача №1. Из Ёлкино в Палкино с одинаковой скоростью и равными интервалами едут грузовики, другой транспорт там не ездит. Петя и Вася вышли из Палкина в разное время и шли прямо по дороге в Ёлкино с постоянными скоростями. Петя по дороге из Палкина в Ёлкино встретил 10 грузовиков, а Вася — 9 грузовиков. Мог ли Петя идти быстрее Васи?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. В каждой из 600 коробок лежит либо 5, либо 18, либо 22 шарика, причём все три типа присутствуют. Докажите, что можно выбрать несколько коробок, в которых суммарно ровно 2025 шариков.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Через центр прямоугольника провели две взаимно перпендикулярные прямые, не параллельные его сторонам. Оказалось, что они делят прямоугольник на четыре части равной площади. Может ли этот прямоугольник не быть квадратом?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. На 2025 досках написали по натуральному числу. Разрешается проделывать такую операцию: на одной из досок вместо написанного на ней числа записать его куб, а на каждой из остальных досок вместо написанного на ней числа записать в три раза меньшее число, если оно является целым (если хотя бы одно из чисел после деления на 3 становится нецелым, операция невозможна!). Можно ли написать такие числа и проделать несколько (не меньше одной) операций так, чтобы после последней операции на каждой доске оказалось исходное число?
(
С. Берлов,
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Из доски $100\times 100$ вырезаны 4 угловых клетки. Какое наименьшее количество клеток надо ещё вырезать, чтобы из оставшейся части нельзя было бы вырезать квадрат $2\times 2$?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение