қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Есеп №1. Кез келген екі натурал $a$ және $b$ сандары үшін келесі амалдар орындалатындай әрқашанда сондай $x$, $y$ және $n$ натурал сандары табылатынын дәлелдеңіз: $an=x^{2025},$ $bn=y^{2026}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $2^x+3^y$ толық квадрат болатындай барлық $(x, y)$ бүтін оң сандар жұбын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $\{1, 2,\ldots,n\}$ жиыны берілсін. Осы жиыннан $2n-1$ екіэлементті (өзара әртүрлі болуы шарт емес) ішкі жиындар таңдап алынды. Қалған ішкі жиындардың бірігуі $\frac{2n}{3}+1$-ден көп емес түрлі элементтерден тұратындай етіп, әрқашан осы ішкі жиындардың $(n-1)$-ін өшіріп тастауға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $H$ нүктесі ортоцентр, $I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі, ал $D$ нүктесі $A$ нүктесінен өткізілген биіктіктің табаны. $M$ және $N$ нүктелері $ABD$ және $ACD$ үшбұрыштарына сәйкесінше іштей сызылған шеңберлердің центрлері. $K$ және $L$ нүктелері сәйкесінше $HBD$ және $HCD$ үшбұрыштарын $HD$ кесіндісіне сырттай жанасатын шеңберлердің центрлері. $HI$, $KM$ және $LN$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)