Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы

Задача №1. Докажите, что для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ существует такие натуральные числа $x$, $y$ и $n$ что: $an=x^{2025},$ $bn=y^{2026}.$
комментарий/решение(2)

---

Задача №2. Найдите все пары целых положительных чисел $(x, y)$, для которых $2^x+3^y$ является точным квадратом.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3. Пусть задано множество $\{1, 2,\ldots,n\}$. Из этого множества выбрали $2n - 1$ (не обязательно попарно различных) двухэлементных подмножеств. Докажите, что всегда можно удалить $(n-1)$ из этих подмножеств так, что объединение оставшихся подмножеств будет содержать не более $\frac{2n}{3}+1$ различных элементов.
комментарий/решение

---

Задача №4. В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $H$ ортоцентр, точка $I$ центр вписанной окружности, точка $D$ — основание высоты из вершины $A$. Точки $M$ и $N$ центры вписанных окружностей треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно. Точки $K$ и $L$ являются центрами вневписанных окружностей треугольников $HBD$ и $HCD$, касающихся стороны $HD$. Докажите, что прямые $HI$, $KM$ и $LN$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

---