30-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Румыния, 2026 год

Есеп №1. $a$, $b$, $c$ оң нақты сандар болсын және $a^2+b^2+c^2\ge 3.$ $$\frac{a^4}{a^2+2b+2c}+\frac{b^4}{b^2+2c+2a}+\frac{c^4}{c^2+2a+2b}\ge \frac35$$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $a+1$ саны $b+2$ санына, ал $b$ саны $2a^2$ санына бөлінетіндей барлық оң бүтін $(a,b)$ сандар жұптарын табыңыз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5)

---

Есеп №3. $n\ge 3$ бүтін саны берілсін. Шеңбер бойымен орналасқан $n$ түрлі түсті шам бар. Шамның батырмасын бір рет басқанда оның түсі келесі тәртіппен өзгереді: $$\text{жасыл}\rightarrow\text{қызыл},\qquad \text{қызыл}\rightarrow\text{көк},\qquad \text{көк}\rightarrow\text{жасыл}. $$ Бастапқыда барлық шамдар қызыл түске боялған. Аладдин осы шамдармен жүрістер жасайды. Әрбір жүріс келесі үш әрекеттен тұрады:
   $\bullet$ ол $L$ шамын таңдайды, бірақ оның батырмасын баспайды;
   $\bullet$ $L$ шамынан сағат тілі бағыты бойынша көршілес шамның батырмасын бір рет басады;
   $\bullet$ $L$ шамынан сағат тіліне қарсы бағыттағы көршілес шамның батырмасын екі рет басады. Әрбір $n$ үшін, шектеулі санды жүрістерден кейін бір мезетте жасыл түске боялуы мүмкін шамдардың ең үлкен санын анықтаңыз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  $ABC$ үшбұрышында $AB\neq AC$, ал $I$ — іштей сызылған шеңбер центрі. $P$ және $Q$ нүктелері $ABC$ үшбұрышының ішінде орналасқан және $$BP=PC>BQ=QC.$$ $BP$ және $CQ$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысады. $AI$ түзуі $IPQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанасын. $ABQ$, $ACP$ және $PQX$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерінің ортақ нүктесі бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---